スマートフォンのアプリなら動画をダウンロードしてオフラインで再生というのできるのですが、FireTVシリーズではできません。
基本的にどこの動画配信サービスもAndroidやiPhoneでのダウンロードに対応しているだけで、ほかデバイスでは非対応なんですね。
「じゃあどうやって通信速度遅い人は対応すればいいの？」っていう話に触れながらFireTVStickのダウンロード事情について書いていきます。
FireTVStickへのアプリダウンロードができないという悩みならこちらへ
FireTVStickのアプリには動画のダウンロード機能がない
浅学なため、あらゆるアプリにダウンロード機能がないのかと言われるとわからないんですが、有名な動画配信サービスはスマホに対応しているだけでFireTVには非対応です。
そのため実質FireTVStickで見れる動画配信サービスにはダウンロード機能はないと言ってよろしいかと。
ちなみに動画を録画して保存したいという場合ですが、こちらはほとんどの動画配信サービスの規約でアウトとなっているため非推奨です。（そもそもFireTVStickの映像を録画するには特殊な機械が必要なので難しい）
ミラーリング機能を使えば実質ダウンロード再生は可能だったりする
ミラーリング機能というのはスマートフォンなど別デバイスの映像をFireTVStickを通して映し出すことで、これを使えば実質ダウンロード可能と言えなくもないです。
２．スマホの画面をFireTVStickの機能でミラーリング
３．スマホでダウンロードした動画を再生
とすれば実質動画をダウンロードしてのオフライン再生と同じでしょう。
FireTVStickを利用した詳しいミラーリングの設定方法は下記ページを参考にしてみてください。
参考：FireTVStickのミラーリング方法をデバイス別に解説しているページ
ただしミラーリングにはwifiが必須
FireTVStickのミラーリング機能は同一のwifiにFireTVStickとスマートフォンが接続している必要があります。
ですので「自宅にwifi環境がない！」という場合はこのミラーリング方法は使えません。
（ちなみにミラーリング機能はFireTVシリーズの中でもFireTVStickにのみ搭載されています）
ダウンロード機能のないアプリもあるので注意
スマホで動画をダウンロードしてミラーリングという方法も、そもそもスマホアプリでのダウンロード機能の提供がない場合はできません。
現在ダウンロード再生に対応している有名な動画配信サービスは
ざっとこの辺でしょう。
ダウンロードに対応していないサービスも結構あるので気をつけてください。